Instabilità a carico di punta

In ingegneria l'instabilità dovuta ad un carico assiale di punta agente su un'asta è un improvviso collasso di un membro strutturale soggetto ad intensi sforzi di compressione, sebbene l'effettivo sforzo di compressione generante il collasso sia minore dello sforzo massimo che il materiale componente il membro è capace di sopportare. Questo tipo di collasso è anche chiamato collasso dovuto ad instabilità elastica. Il modello matematico impiegato per descrivere questo fenomeno fa uso di un'eccentricità del carico assiale che introduce un momento non facente parte delle forze primarie che agiscono sul membro strutturale.

Il carico di punta assiale è una sollecitazione di compressione applicata alla testa di un'asta. Dato che nella realtà fisica è impossibile che tale compressione solleciti l'asta con uno sforzo normale puro, la sollecitazione non avrà esattamente l'asse coincidente con l'asse baricentrico della sezione, ma si troverà ad una certa distanza da esso, creando così un momento flettente.

Una struttura snella, ricevendo sollecitazioni di questo tipo, tende ad incurvarsi fino al punto di rottura ed a collassare. Infatti il fenomeno dell'instabilità a carico di punta, detta anche instabilità euleriana, instabilità a carico euleriano o, in lingua inglese|inglese, buckling, è da evitare con grande accortezza, poiché disastroso.

Per evitare questo fenomeno, occorre prevedere correttamente i carichi di progetto e le azioni sollecitanti, modificandone eventualmente i parametri. Ad esempio:

• riducendo la compressione;
• cercando di diminuire l'eccentricità del carico;
• aumentando l'area della sezione;
• riducendo la lunghezza dell'oggetto;
• aggiungendo vincoli con altre aste vicine oppure con il suolo;
• riducendo la lunghezza libera di inflessione della trave.

Un esempio di elemento soggetto ad instabilità a carico di punta può essere un pilastro oppure una trave incastrati ad un estremo e liberi nell'altro, caratterizzati da notevole snellezza (rapporto lunghezza su diametro). Questo tipo di sollecitazione riguarda anche le bielle dei motori veloci: quando il pistone passa dal punto morto superiore al punto morto inferiore, e viceversa, la biella viene compressa.

Snellezza

Viene indicato con rapporto di snellezza o semplicemente snellezza:

l = L₀ / ρ_min

dove:

• L₀ è la lunghezza libera d'inflessione ed indica la misura del segmento di trave che si incurva liberamente e pertanto dipende dalla tipologia dei vincoli ( tipologia indicata tramite un coefficiente β ), infatti, indicando con l la lunghezza dell'elemento e β * l = L₀:
  • L₀ = l per una membratura vincolata con 2 cerniere agli estremi
  • L₀ = 2l per una membratura vincolata con un solo incastro perfetto (mensola)
  • L₀ = 1/2 l per una membratura vincolata con 2 incastri perfetti agli estremi)
  • L₀ = 2/3 l per una membratura vincolata con un incastro perfetto e una cerniera
• ρ_min² = I_min/A è il raggio d'inerzia minimo della sezione trasversale, dove.
• I_min è il momento d'inerzia minimo della sezione trasversale
• A è l'area della sezione trasversale

Nelle strutture metalliche la snellezza non deve superare il valore di 200 per le membrature principali e 250 per quelle secondarie.
In presenza di azioni dinamiche rilevanti, i suddetti valori devono essere limitati rispettivamente a 150 e 200.
Nelle strutture in calcestruzzo armato, vengono considerati snelli i pilastri a sezione costante per i quali la snellezza massima sia maggiore di 35.

File:Free-fix-bucling.png

Schema statico

Metodo omega

Template:Vedi anche Con il metodo delle tensioni ammissibili, per lo studio dei problemi di carico di punta è stato introdotto un metodo semplificato chiamato metodo ω.

Se consideriamo una membratura compressa assialmente, ma sufficientemente tozza in modo da poter ritenere che non possano sussistere fenomeni di instabilità (effetti del secondo ordine), il carico massimo ammissibile vale:

$P={\sigma }_{amm}A$

dove:

• σ_amm è la tensione ammissibile del materiale
• A è l'area della sezione trasversale della membratura.

Supponiamo di aumentare la lunghezza l del pilastro: affinché non si inneschi il fenomeno di instabilità occorre ridurre P oppure diminuire la tensione ammissibile di calcolo.

Chiamando ω il coefficiente di riduzione della σ_amm si avrà che il carico critico vale:

$P=\frac{{\sigma }_{amm}}{\omega }A$

questa formula si può scrivere anche nel seguente modo:

$\frac{P}{A}=\frac{{\sigma }_{amm}}{\omega }$

dalla formula del carico critico di Eulero risulta che:

$\frac{P}{A}={\sigma }_{cr}$

Pertanto:

• σ_cr = σ_amm/ω
• ω = σ_amm/σ_cr.

Si può notare che ω essendo uguale ad un rapporto di tensioni, è un numero puro che tiene conto anche della teoria di Eulero e della snellezza dell'elemento (λ).

Esistono delle apposite tabelle, per ciascun materiale, mediante le quali si determina ω in funzione del valore assunto da λ.

Con il metodo ω si può effettuare la verifica a carico di punta di un elemento snello applicando la metodologia standard per la verifiche a compressione semplice degli elementi tozzi.

Infatti determino prima la tensione agente:

$\sigma =\frac{P}{A}$

Successivamente sulla base del tipo di materiale, delle caratteristiche geometriche e dei vincoli agenti determino la snellezza del pilastro e di conseguenza, dalle tabelle, il valore di ω.

A questo punto la formula di verifica a carico di punta di un elemento snello diventa la seguente:

$\omega \frac{P}{A}\le {\sigma }_{amm}.$

Voci correlate

• Carico critico euleriano